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一.知识总结
1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）
(1)  为奇函数;  为偶函数;
(2)奇函数  在原点有定义  (3)任一个定义域关于原点对称的函数  一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即  （奇）  （偶）.
2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)
(1)定义:区间  上任意两个值  ,若  时有  ,称 为 上增函数,若  时有  ,称 为 上减函数.
(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.
3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.
二.例题精讲
【例1】已知定义域为  的函数  是奇函数.
(Ⅰ)求  的值;
解析：（Ⅰ）因为 是奇函数，所以  =0， 即 
又由f（1）= -f（-1）知 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知  ．又由题设条件得：  ，
即 ：  ， 整理得 
 上式对一切  均成立，
从而判别式 
【例2】设函数  在  处取得极值－2,试用  表示  和  ,并求 的单调区间.
故  解得  从而  。 由于 在  处取得极值， 故  ，即  。
从而 的单调增区间为  ； 单调减区间为 
若  ，即  ，同上可得，
【例3】( 理)设函数  ,若对所有的  ,都有  成立,求实数 的取值范围.
( 文)讨论函数  的单调性
（理） 解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，
当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
（ 文）解：设  ， 则
∵
当  时，  为常量，无单调性
【例4】( 理)已知函数  ,其中  为常数. (Ⅰ)若  ,讨论函数 的单调性;
( 文)已知 为定义在 上的奇函数，当  时，  ，求 的表达式. （理）
（ 文）解：∵ 为奇函数， ∴ 
当  时， 
∵ 为奇函数 ∴ 
∴ 
∴  
三.巩固练习
3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
4.若不等式  对于一切  ?(0,  )成立,则 的取值范围是( )
A.0 B. –2 C.-  D.-3
5.设 是 上的任意函数,则下列叙述正确的是( )
A.  是奇函数 B.  是奇函数
C.  是偶函数 D.  是偶函数
A.－1 B.0 C.1 D.2
7.已知函数  的图象与函数  （  且  ）的图象关于直线  对称,记  .若  在区间  上是增函数,则实数 的取值范围是( )
8.( 理)如果函数  在区间  上是增函数,那么实数 的取值范围是( )
10.已知  ,则( )
12.已知函数 是定义在  上的偶函数. 当  时,  ,则当  时,  .
13. 是定义在 上的以3为周期的偶函数,且  ,则方程 =0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )
A.5 B.4 C.3 D.2
14.下列函数既是奇函数,又在区间  上单调递减的是( )
15.若函数  , 则该函数在  上是( )
A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值
C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值
16.若函数  在区间  内单调递增,则 的取值范围是( )
17.设 是定义在 上的奇函数,且 的图象关于直线  对称,则  ______.
18.设函数 在  上满足  ,  ,且在闭区间［0，7］上,只有  .
(Ⅰ)试判断函数  的奇偶性;
(Ⅱ)试求方程 =0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.
19. ( 理)已知  ,函数 
(1)当 为何值时, 取得最小值？证明你的结论;(2)设 在[ -1，1]上是单调函数,求 的取值范围.
( 文)已知 为偶函数且定义域为  ,  的图象与 的图象关于直线 对称,当  时,  , 为实常数,且  .
(1)求 的解析式;(2)求 的单调区间;(3)若 的最大值为12,求 .
20.已知函数  的图象过点  （0,2）,且在点   处的切线方程为  .
(1)求函数 的解析式;(2)求函数 的单调区间.
21.已知向量  若函数  在区间（－1,1）上是增函数,求  的取值范围.
22. ( 理)已知函数  ,  ,  .若  ,且  存在单调递减区间,求 的取值范围.
( 文)已知函数   在区间  上是减函数,且在区间  上是增函数,求实数 的值.
巩固练习参考答案
1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. a=  12. -x-x 4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 0
18 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 的对称轴为  ,
从而知函数 不是奇函数,
由   ,
故函数 是非奇非偶函数;
(II)由
(II) 又 
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数 在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,
所以函数 在[-2005,2005]上有802个解.
19. ( 理) 解：（I）对函数 求导数得 
令  得［  +2(1－ ) －2 ］  =0从而 +2(1－ ) －2 =0
解得 
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+ |
0 |
－ |
0 |
+ |
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递增 |
极大值 |
递减 |
极小值 |
递增 |
当x=0时，  . 所以当  时， 取得最小值
于是 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是  ， 即 的取值范围是 
( 文)解: (1) 先求  在  上的解析式
设  是  上的一点,
所以  得  .
再根据偶函数的性质, 求当  上的解析式为 
所以 
(2) 当  时, 
因 时, 所以 
所以 在 上为减函数.
所以 
所以 在  上为增函数
又因 为偶函数, 所以 
由  得  .
20.解：（Ⅰ）由 的图象经过P（0，2），知d=2， 所以 
知  故所求的解析式是 
（Ⅱ） 
解得  当 
当  故  内是增函数， 在  内是减函数，在  内是增函数.
21. 解法1：依定义 
 开口向上的抛物线，
  .
解法2：依定义
 的图象是开口向下的抛物线，
22. ( 理) 解：  ，
则  因为函数h(x)存在单调递减区间， 所以  <0有解.又因为x>0时，则ax 2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax 2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0. 综上所述，a的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.
(文)解：  ,
 ,
 ,
|
恒成立,求
的取值范围.
而
，得
。
时，
；
时，
；当
时，
；单调减区间为
，
，
，
时，
,且
=4,试证:
.
是
B.
C.
D.
时,
,设
则( )
B.
C.
D.
B. 
C. 
D. 
,则
B.
C.
D.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
,则必有( )
B.
C.
D.
B.
C.
D.
,若
.
B.
C.
D.
B.
C.
D.
又
,
的变化如下表
处取得极大值，在
处取得极小值。
在
上为减函数，在
时
，
上为单调函数的充要条件是
，
，解得
，
的对称点为
且
, 所以
, 所以
而
. 
时, 
因
所以
, 所以
, 即
上的最大值
由在
处的切线方程是
在区间（－1，1）上恒成立
, 当
时
